\( \sec^3 x \)의 적분

유도 및 평가

다음 적분을 구하기 위해 부분적분법을 사용합니다:

\[ \int \sec^3 x \, dx \]

부분적분법 공식은 다음과 같이 표현됩니다:

\[ \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \]

\( v = \sec x \) 및 \( u' = \sec^2 x \)로 놓습니다; 따라서 \( u = \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \)이고 \( v' = \sec x \tan x \)가 됩니다. 이를 적용합니다:

\[ \begin{aligned} \int \sec^3 x \, dx &= \int \sec^2 x \cdot \sec x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan x \sec x \cdot \tan x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan^2 x \sec x \, dx \qquad (I) \end{aligned} \]

삼각함수 항등식 \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \)을 사용하여 적분식을 다시 씁니다:

\[ \begin{aligned} \int \tan^2 x \sec x \, dx &= \int (\sec^2 x - 1)\sec x \, dx \\[6pt] &= \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \end{aligned} \]

이를 식 (I)에 다시 대입합니다:

\[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \left( \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \right) \] \[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx \]

방정식 양쪽에 \( \displaystyle \int \sec^3 x \, dx \)를 더하고 정리합니다:

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \int \sec x \, dx \]

표준 적분 공식 \( \displaystyle \int \sec x \, dx = \ln|\tan x + \sec x| \)을 사용합니다:

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \ln|\tan x + \sec x| \]

모든 항을 \( 2 \)로 나누고 적분 상수 \( c \)를 더하면 최종 해답을 얻습니다: